Schneidet die Auberginen in Scheiben und bestreut sie mit ein wenig Salz. Lasst sie 30 Minuten lang ziehen. Erhitzt das Öl und bratet die Zwiebel und die in kleine Würfel geschnittene Karotte darin an. Fügt ein wenig Salz hinzu. Wenn die Karotten ein wenig gar sind, fügt den Knoblauch hinzu und lasst das ganze kurz miteinender anbraten. Fügt den Essig und die passierten Tomaten hinzu und lasst das Ganze 10 Minuten köcheln. Trocknet die Auberginen mit einer Papierserviette ab, um überschüssiges Wasser und Salz zu entfernen. Eine ofenfeste Form mit Öl ausstreichen. Nun eine Schicht Auberginen auf den Boden der Form legen, eine Schicht Tomatensauce und anschließend eine Schicht Mozzarella und Parmesan daraufgeben. Wiederholt diese Schichtung, bis die Form gefüllt ist, und Parmesan darüber streuen. Im Ofen bei 180° 25 Minuten lang backen, bis die Oberfläche goldbraun aussieht. Mit ein paar frischen Basilikumblättern servieren.